和差不等式

$$ \vert a \pm b \vert \le \vert a \vert + \vert b \vert $$

$$ \vert \vert a \vert - \vert b \vert \vert \le \vert a - b \vert $$

这 2 个不等式，应该是显然的，不需要证明了。

均值定理

$$ 若 a_1, a_2, … a_n > 0, $$ $$ Q_n = \sqrt{\frac{a_1^2 + a_2^2 + … + a_n^2}{n}} $$ $$ A_n = \frac{a_1 + a_2 + … + a_n}{n} $$ $$ G_n = \sqrt[n]{a_1a_2…a_n} $$ $$ H_n = \frac{n}{\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + … + \frac{1}{a_n}} $$

则有, $ Q_n \ge A_n \ge G_n \ge H_n $, 当且仅当$a_1 = a_2 = … = a_n$时等号成立

二维的比较容易证明，n 维的暂时还想不出来怎么证明，下面给出二维的证明。

  • 证明$ \sqrt{\frac{a_1^2 + a_2^2}{2}} \ge \frac{a_1 + a_2}{2} $

由于 $$ (a_1 + a_2)^2 \ge 0 $$

所以 $$ a_1^2 + 2a_1a_2 + a_2^2 \ge 0 $$

所以 $$a_1^2 + a_2^2 \ge 2a_1a_2$$

两边加上$a_1^2 + a_2^2$, 得: $$ 2(a_1^2 + a_2^2) \ge a_1^2 + a_2^2 + 2a_1a_2 $$

$$ 2(a_1^2 + a_2^2) \ge (a_1 + a_2)^2 $$

$$ \frac{a_1^2 + a_2^2}{2} \ge \frac{(a_1 + a_2)^2}{4} $$

所以: $$ \sqrt{\frac{a_1^2 + a_2^2}{2}} \ge \frac{a_1 + a_2}{2} $$

证毕。

  • 证明$\frac{a_1 + a_2}{2} \ge \sqrt{a_1a_2}$

由于 $$ (a_1 - a_2)^2 \ge 0 $$

所以 $$ a_1^2 - 2a_1a_2 + a_2^2 \ge 0 $$

所以 $$a_1^2 + a_2^2 \ge 2a_1a_2$$

所以 $$ (\sqrt{a_1})^2 + (\sqrt{a_2})^2 \ge 2\sqrt{a_1}\sqrt{a_2} $$

$$ a_1 + a_2 \ge 2\sqrt{a_1a_2} $$

所以 $$\frac{a_1 + a_2}{2} \ge \sqrt{a_1a_2}$$

  • 证明$\sqrt{a_1a_2} \ge \frac{2}{\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2}}$

由于 $$ (a_1 + a_2)^2 \ge 0 $$

所以 $$ a_1^2 + 2a_1a_2 + a_2^2 \ge 0 $$

所以 $$a_1^2 + a_2^2 \ge 2a_1a_2$$

两边加上$2a_1a_2$, 得 $$a_1^2 + a_2^2 + 2a_1a_2 \ge 4a_1a_2$$

$$(a_1 + a_2)^2 \ge 4a_1a_2 $$

$$ \frac{4a_1a_2}{(a_1 + a_2)^2} \le 1 $$

两边乘以$a_1a_2$, 得

$$ \frac{4(a_1a_2)^2}{(a_1 + a_2)^2} \le a_1a_2 $$

两边开方，得

$$ \sqrt{a_1a_2} \ge \frac{2a_1a_2}{a_1 + a_2} $$

右边上下除以$a_1a_2$, 得 $$ \sqrt{a_1a_2} \ge \frac{2}{\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2}} $$

证毕。

关键是要$a_1 \ge 0, a_2 \ge 0$.

柯西不等式

$$ (a_1b_1 + a_2b_2 + … + a_nb_n)^2 \le (a_1^2 + a_2^2 + … + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + … + b_n^2) $$

简写一下，是这样: $$ \sum_1^n (a_ib_i)^2 \le \sum_1^n a_i^2 \sum_1^n b_i^2 $$

证明:

构造二次函数: $$ f(x) = (a_1x + b_1)^2 + (a_2x + b_2)^2 + … + (a_nx + b_n)^2 $$ $$ = (a_1^2 + a_2^2 + … + a_n^2)x^2 + 2(a_1b_1 + a_2b_2 + … + a_nb_n)x + (b_1^2 + b_2^2 + … + b_n^2) $$

由于 f(x)是各个二次函数的平方之和，所以 $f(x) \ge 0$.

现在来求抛物线$f(x) = ax^2 + bx + c $的顶点。

我们知道顶点处切线斜率为 0，所以导数为 0，所以有: $$ f’(x) = 2ax + b = 0 $$

所以 $$ x = \frac{-2a}{b} $$

代入 f(x)，得 $y = \frac{-b^2 + 4ac}{4a^2} $

所以抛物线的顶点坐标为 $$ (\frac{-2a}{b}, \frac{-b^2 + 4ac}{4a^2}) $$

由于$f(x) \ge 0$, 所以: $$ y = \frac{-b^2 + 4ac}{4a^2} \ge 0 $$

所以: $$ b^2 - 4ac \le 0 $$

因此，对于我们上面构造的二次函数，有: $$ 4(a_1b_1 + a_2b_2 + … + a_nb_n)^2 - 4(a_1^2 + a_2^2 + … + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + … + b_n^2) \le 0 $$

化简，得:

$$ (a_1b_1 + a_2b_2 + … + a_nb_n)^2 \le (a_1^2 + a_2^2 + … + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + … + b_n^2) $$

证毕。

指数函数不等式

$$ e^x \ge x + 1 $$

这个通过函数图像，大脑立马浮现两个函数的图像，证毕。

对数函数不等式

$$ lnx \le x - 1 $$

这个通过函数图像，大脑立马浮现两个函数的图像，证毕。

其他

$$ sinx \lt x, x \gt 0 $$

这个通过函数图像，大脑立马浮现两个函数的图像，证毕。