一元二次方程求根公式推导
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一元二次方程 ax2+bx+c=0的求根公式为:
xx1,x2=−b±√b2−4ac2a
推导过程
根据经验,左边如果可以写在平方的形式,通过开方,就可以求得根,所以我们的目标是通过变换,得到左式为平方的形式。
因为
ax2+bx+c=0
将c移到右边,得:
ax2+bx=−c
两边都除以a,得:
x2+bax=−ca
两边都加上(b2a)2, 得:
x2+bax+(b2a)2=(b2a)2−ca
两边化简,得:
(x+b2a)2=b2−4ac4a2
两边开方,得:
x+b2a=±√b2−4ac2a
所以:
xx1,x2=−b2a±√b2−4ac2a=−b±√b2−4ac2a
韦达公式
韦达公式是这样的:
x1+x2=−ba x1x2=ca
推导很简单,直接来就行:
x1+x2=−b+√b2−4ac2a+−b−√b2−4ac2a= −b2a+−b2a=ba
x1x2=−b+√b2−4ac2a×−b−√b2−4ac2a= (−b+√b2−4ac)(−b−√b2−4ac)4a2= (−b)2−(b2−4ac)4a2=ca
抛物线的顶点坐标
对于抛物线 y=ax2+bx+c, 它的顶点坐标是 (−b2a,4ac−b24a)
原理很简单,顶点处导数为0,所以有:
y′=2ax+b=0 x=−b2a y=a(−b2a)2−bb2a+c=4ac−b24a